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Ley de idempotencia_
La idempotencia expresa algo que parece obvio pero conviene enunciar formalmente: afirmar dos veces lo mismo no añade información. Tanto p ∧ p como p ∨ p equivalen a p, y esta propiedad distingue a la lógica de la aritmética, donde a + a no es a.
Ejemplo
(p ∧ p) ⇔ p
Significado de las variables
- ▸ p: «El servidor está caído»
En palabras
«El servidor está caído y el servidor está caído» no dice más que «el servidor está caído».
Tabla de verdad
| p | p ∧ p | (p ∧ p) ⇔ p★ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| F | F | V |
Clasificación: Tautología · 2 filas
Enunciado
La ley afirma que p ∧ p ≡ p, y su dual, que p ∨ p ≡ p. Al intervenir una sola variable, la tabla tiene únicamente 2 filas.
Un operador es idempotente cuando aplicarlo a un elemento consigo mismo devuelve ese elemento. La conjunción y la disyunción lo son; el XOR no, porque p ⊕ p es siempre falso.
Por qué es válida: lectura de la tabla
Fila 1 (p = V): V ∧ V = V, que coincide con p. Fila 2 (p = F): F ∧ F = F, que también coincide. Como las dos filas coinciden, el bicondicional es una tautología.
Intuitivamente: la conjunción exige que ambos miembros sean verdaderos, pero aquí ambos miembros son la misma proposición, así que la exigencia se reduce a la de p.
Cómo se usa
Aparece constantemente como paso intermedio al simplificar: tras aplicar una distributiva suelen quedar términos repetidos que la idempotencia colapsa en uno solo.
También justifica por qué en una lista de condiciones se puede eliminar cualquier duplicado exacto sin cambiar el resultado.
Ejemplos
Cotidiano: en una lista de requisitos, pedir «tener identificación» dos veces no hace el requisito más estricto.
Programación: `if (activo && activo)` es exactamente `if (activo)`. El concepto también aparece en operaciones idempotentes de HTTP: repetir un PUT deja el recurso en el mismo estado.
Relación con otras leyes
Es un ingrediente en la demostración de la absorción, donde p ∨ p se colapsa tras aplicar la distributiva.
No confundir con p ∧ ¬p, que es una contradicción, ni con p ∨ ¬p, que es una tautología: la idempotencia repite la misma proposición, no su negación.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Por qué la tabla solo tiene 2 filas? ▼
Porque hay una única variable proposicional, p, y el número de filas es 2ⁿ: 2¹ = 2.
¿Todos los operadores son idempotentes? ▼
No. ∧ y ∨ lo son, pero ⊕ no: p ⊕ p siempre da falso. Tampoco lo es el condicional en el sentido usual, aunque p ⇒ p sea una tautología.
¿Es lo mismo que la ley de identidad? ▼
No. La identidad relaciona p con las constantes (p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p); la idempotencia relaciona p consigo misma.