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Ley de la contrapositiva_
La ley de la contrapositiva (o transposición) afirma que «si p entonces q» dice exactamente lo mismo que «si no q entonces no p». La fórmula (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) es una tautología. Es la base de las demostraciones por contrapositivo y la razón por la que el modus tollens es válido.
Ejemplo
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Significado de las variables
- ▸ p: «Es un cuadrado»
- ▸ q: «Tiene cuatro lados»
En palabras
«Si es un cuadrado, tiene cuatro lados» equivale a «si no tiene cuatro lados, no es un cuadrado».
Tabla de verdad
| p | q | p ⇒ q | ¬q | ¬p | ¬q ⇒ ¬p | (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)★ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V | V |
| V | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p). La contrapositiva de una implicación se forma intercambiando antecedente y consecuente y negando ambos.
Ojo con dos parientes que no son equivalentes a la original: la recíproca q ⇒ p y la inversa ¬p ⇒ ¬q. Esas dos sí son equivalentes entre sí, pero no con p ⇒ q.
Por qué es una tautología: lectura de la tabla
Una implicación solo es F cuando su antecedente es V y su consecuente F. Para p ⇒ q eso ocurre en la fila p = V, q = F. Para ¬q ⇒ ¬p ocurre cuando ¬q = V y ¬p = F, es decir, q = F y p = V: la misma fila.
Como ambas implicaciones son falsas exactamente en la misma fila y verdaderas en las otras tres, sus columnas coinciden y el bicondicional es V en las cuatro filas.
Cómo se usa en demostraciones
La demostración por contrapositivo prueba p ⇒ q demostrando ¬q ⇒ ¬p. Es útil cuando la negación del consecuente da una hipótesis más manejable que el antecedente original.
Ejemplo clásico: para probar «si n² es par, entonces n es par» se demuestra «si n es impar, entonces n² es impar», que es mucho más directo.
Ejemplos
Cotidiano: «Si el paquete se entregó, recibí una notificación» equivale a «si no recibí notificación, el paquete no se entregó».
Programación: la garantía «si la función devuelve true, el archivo existe» es la misma que «si el archivo no existe, la función devuelve false». Las dos formas describen el mismo contrato.
Relación con otras leyes
Aplicar modus ponens a la contrapositiva ¬q ⇒ ¬p con la premisa ¬q es exactamente el modus tollens sobre p ⇒ q.
Se demuestra combinando implicación material y conmutatividad: p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ q ∨ ¬p ⇔ ¬¬q ∨ ¬p ⇔ ¬q ⇒ ¬p.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Contrapositiva, recíproca e inversa son lo mismo? ▼
No. De p ⇒ q, la recíproca es q ⇒ p, la inversa es ¬p ⇒ ¬q y la contrapositiva es ¬q ⇒ ¬p. Solo la contrapositiva es equivalente a la original.
¿Por qué se usa tanto en matemáticas? ▼
Porque a veces suponer ¬q es más cómodo que suponer p. La contrapositiva permite elegir el punto de partida más sencillo sin cambiar lo que se demuestra.
¿Es lo mismo que demostrar por contradicción? ▼
Se parecen, pero no. Por contrapositivo se prueba ¬q ⇒ ¬p directamente; por contradicción se supone p ∧ ¬q y se llega a un absurdo.