// leyes y reglas · Equivalencia lógica
Ley distributiva de ∧ sobre ∨_
La conjunción se distribuye sobre la disyunción igual que la multiplicación se distribuye sobre la suma en aritmética. Permite «sacar factor común» o expandir una fórmula sin cambiar su valor de verdad, y es una de las herramientas básicas para llevar expresiones a forma normal.
Ejemplo
(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
Significado de las variables
- ▸ p: «Tengo tiempo»
- ▸ q: «Voy al cine»
- ▸ r: «Voy al teatro»
En palabras
«Tengo tiempo y (voy al cine o al teatro)» dice exactamente lo mismo que «(tengo tiempo y voy al cine) o (tengo tiempo y voy al teatro)».
Tabla de verdad
| p | q | r | q ∨ r | p ∧ (q ∨ r) | p ∧ q | p ∧ r | (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) | (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V | V | F | V | V |
| V | F | V | V | V | F | V | V | V |
| V | F | F | F | F | F | F | F | V |
| F | V | V | V | F | F | F | F | V |
| F | V | F | V | F | F | F | F | V |
| F | F | V | V | F | F | F | F | V |
| F | F | F | F | F | F | F | F | V |
Clasificación: Tautología · 8 filas
Enunciado
La ley afirma que p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). El bicondicional entre ambos lados es una tautología, que es la forma de demostrar una equivalencia con tablas de verdad.
Es el análogo lógico de a · (b + c) = a · b + a · c. De hecho, en álgebra de Boole se escribe con esa misma notación, donde ∧ es el producto y ∨ la suma.
Por qué es válida: lectura de la tabla
Con tres variables la tabla tiene 2³ = 8 filas. Basta comparar la columna de p ∧ (q ∨ r) con la de (p ∧ q) ∨ (p ∧ r): coinciden fila por fila, por eso la columna final del bicondicional es V en las ocho.
El razonamiento directo: si p es F, ambos lados son F (una conjunción con un factor falso es falsa). Si p es V, el lado izquierdo vale lo que valga q ∨ r, y el derecho se reduce a q ∨ r porque cada conjunción se queda con su segundo miembro. En los dos casos los lados coinciden.
Cómo se usa
Aplicada de izquierda a derecha, expande una fórmula hacia la forma normal disyuntiva (una disyunción de conjunciones), que es la forma que necesitan muchos algoritmos de satisfacibilidad y la síntesis de circuitos.
De derecha a izquierda funciona como factorización: reduce el número de operaciones. En un circuito digital, pasar de (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) a p ∧ (q ∨ r) ahorra una compuerta AND.
Ejemplos
Cotidiano: «Es fin de semana y (llueve o hace frío)» equivale a «(es fin de semana y llueve) o (es fin de semana y hace frío)».
Programación: la condición `activo && (esAdmin || esEditor)` equivale a `(activo && esAdmin) || (activo && esEditor)`. La primera forma suele ser preferible porque evalúa `activo` una sola vez.
Relación con otras leyes
Tiene una ley gemela, la distributiva de ∨ sobre ∧, que no tiene análogo en la aritmética: en lógica ambas direcciones son válidas.
Junto con las leyes de De Morgan y la doble negación, forma el conjunto de reglas con el que se lleva cualquier fórmula a forma normal conjuntiva o disyuntiva.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Por qué la tabla tiene 8 filas? ▼
Porque intervienen tres variables distintas (p, q, r) y el número de filas siempre es 2ⁿ: 2³ = 8.
¿La resta o el condicional también distribuyen? ▼
El condicional no distribuye de esta forma. Conviene convertirlo antes a ¬p ∨ q con la implicación material y luego aplicar las distributivas.
¿Sirve para simplificar circuitos? ▼
Sí. Usada de derecha a izquierda es una factorización que reduce el número de compuertas, uno de los pasos habituales en la minimización de funciones booleanas.