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Operadores lógicos_
Cada conectiva de la lógica proposicional explicada con su tabla de verdad, sus símbolos alternativos, ejemplos cotidianos y las equivalencias que necesitas para simplificar expresiones.
Negación
La negación es el único operador lógico que actúa sobre una sola proposición: toma un valor de verdad y lo invierte. Si p es verdadera, ¬p es falsa; si p es falsa, ¬p es verdadera. Es la pieza básica con la que se construyen todos los demás conectores.
¬p
Conjunción
La conjunción une dos proposiciones con la palabra «y». La expresión p ∧ q es verdadera solo cuando p y q son verdaderas al mismo tiempo; en cualquier otro caso es falsa. Es el operador más estricto de la lógica proposicional.
p ∧ q
Disyunción
La disyunción une dos proposiciones con la palabra «o». La expresión p ∨ q es verdadera cuando al menos una de las dos es verdadera, incluidas ambas a la vez. Solo es falsa cuando p y q son falsas. Este «o» inclusivo es el que se usa por defecto en matemáticas.
p ∨ q
Condicional
El condicional, también llamado implicación material, expresa «si p, entonces q». La expresión p ⇒ q solo es falsa en un caso: cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. Es el operador que más confusión genera entre estudiantes, precisamente porque es verdadero siempre que p es falso.
p ⇒ q
Bicondicional
El bicondicional, o doble implicación, expresa «p si y solo si q». La expresión p ⇔ q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad (ambas verdaderas o ambas falsas) y falsa cuando difieren. Es el operador de la equivalencia.
p ⇔ q
Disyunción exclusiva
La disyunción exclusiva, conocida como XOR, expresa «o p o q, pero no ambas». La expresión p ⊕ q es verdadera cuando exactamente una de las dos proposiciones es verdadera y falsa cuando coinciden. Es el «o» excluyente del lenguaje cotidiano llevado a la lógica formal.
p ⊕ q
NAND
NAND es la negación de la conjunción: p ⊼ q equivale a ¬(p ∧ q). Es falso únicamente cuando p y q son ambas verdaderas y verdadero en cualquier otro caso. Su importancia va más allá de la lógica: cualquier función booleana puede construirse usando solo NAND.
p ⊼ q
NOR
NOR es la negación de la disyunción: p ↓ q equivale a ¬(p ∨ q) y se lee «ni p ni q». Es verdadero únicamente cuando p y q son ambas falsas. Al igual que NAND, es un operador universal: basta con él para construir toda la lógica proposicional.
p ↓ q
Condicional inverso
El condicional inverso, también llamado replicador o implicación inversa, se escribe p ￩ q y significa «p si q» o «p es implicado por q». Es simplemente el condicional con la flecha apuntando hacia atrás: p ￩ q equivale a q ⇒ p. Solo es falso cuando q es verdadero y p es falso.
p ￩ q
Negación del condicional
La negación del condicional, escrita p ⇏ q, afirma que «p no implica q»: p es verdadero y sin embargo q es falso. Es la única situación en la que el condicional p ⇒ q falla, así que p ⇏ q ≡ ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q. Entenderla es entender qué hace falta para refutar una implicación.
p ⇏ q
Negación del bicondicional
La negación del bicondicional, escrita p ⇎ q, afirma que p y q no son equivalentes: tienen valores de verdad distintos. Su tabla es idéntica a la de la disyunción exclusiva ⊕, de modo que p ⇎ q ≡ ¬(p ⇔ q) ≡ p ⊕ q. Es la herramienta natural para detectar en qué filas dos fórmulas difieren.
p ⇎ q