// leyes y reglas · Regla de inferencia
Modus tollens_
El modus tollens («modo que niega») es la regla de inferencia que, a partir de una implicación p ⇒ q y de la negación de su consecuente ¬q, concluye la negación del antecedente ¬p. Es el razonamiento detrás de toda refutación: si una teoría predice algo que no ocurre, la teoría es falsa. La fórmula ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p es una tautología.
Ejemplo
((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p
Significado de las variables
- ▸ p: «El motor recibe combustible»
- ▸ q: «El motor arranca»
En palabras
Si el motor recibe combustible, arranca. El motor no arranca. Por lo tanto, el motor no recibe combustible.
Tabla de verdad
| p | q | p ⇒ q | ¬q | (p ⇒ q) ∧ ¬q | ¬p | ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p★ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | V |
| V | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado de la regla
Premisa 1: p ⇒ q. Premisa 2: ¬q. Conclusión: ¬p. Como fórmula única: ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p.
La regla se apoya en una idea simple: una implicación verdadera no puede tener antecedente verdadero y consecuente falso. Si el consecuente es falso, el antecedente tiene que serlo también.
Por qué es válida: lectura de la tabla
Buscamos una fila con premisas verdaderas y conclusión falsa. Para que ¬p sea F necesitamos p = V; para que ¬q sea V necesitamos q = F. Pero con p = V y q = F, la implicación p ⇒ q es F, así que la conjunción de premisas es F. No existe la fila problemática.
En la fila p = F, q = F ambas premisas son verdaderas (p ⇒ q es V porque el antecedente es falso, y ¬q es V) y la conclusión ¬p también es V. Es la única fila en la que el argumento «se activa», y ahí funciona.
Cómo se usa en demostraciones
Es la base de las demostraciones por refutación y del método científico: se deduce una consecuencia observable q de una hipótesis p, se comprueba que q es falsa y se concluye que p también lo es.
En deducción natural suele derivarse del modus ponens más la contrapositiva: de p ⇒ q se obtiene ¬q ⇒ ¬p, y aplicando MP con ¬q se llega a ¬p.
Ejemplos
Cotidiano: «Si hubiera examen hoy, el aula estaría llena. El aula está vacía. Entonces no hay examen hoy».
Depuración de software: «Si la petición llegó al servidor, aparece en el log. No aparece en el log. Por lo tanto, la petición no llegó al servidor». Los programadores aplican modus tollens cada vez que descartan una causa.
Matemáticas: «Si un número es divisible entre 4, es par. 15 no es par. Por lo tanto, 15 no es divisible entre 4».
Relación con otras leyes
Es equivalente a aplicar modus ponens sobre la contrapositiva de la implicación. Por eso ambas reglas son intercambiables en presencia de la ley (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p).
Su falacia gemela es la negación del antecedente, ((p ⇒ q) ∧ ¬p) ⇒ ¬q: negar p no permite negar q, porque q puede ser verdadera por otras razones.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Qué significa «modus tollens»? ▼
Del latín modus tollendo tollens, «el modo que, negando, niega»: niega el consecuente de una implicación para negar su antecedente.
¿Es lo mismo que la contrapositiva? ▼
No exactamente. La contrapositiva es una equivalencia entre dos implicaciones; el modus tollens es una regla de inferencia que se justifica con esa equivalencia.
¿Por qué la fila p = F, q = F es la importante? ▼
Es la única fila en la que ambas premisas son verdaderas. Ahí la conclusión ¬p también lo es, lo que muestra que el argumento nunca lleva de premisas verdaderas a una conclusión falsa.