// leyes y reglas · Regla de inferencia
Modus ponens_
El modus ponens (del latín «modo que afirma») es la regla de inferencia más básica de la lógica proposicional. Dice que si tenemos una implicación p ⇒ q y sabemos que p es verdadera, podemos concluir q. Su tabla de verdad muestra que la expresión (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q es una tautología: nunca hay una fila en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
Ejemplo
(p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q
Significado de las variables
- ▸ p: «Llueve»
- ▸ q: «La calle se moja»
En palabras
Si llueve, la calle se moja. Llueve. Por lo tanto, la calle se moja.
Tabla de verdad
| p | q | p ⇒ q | p ∧ (p ⇒ q) | (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q★ |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado de la regla
Premisa 1: p ⇒ q (si p, entonces q). Premisa 2: p. Conclusión: q. En forma de una sola fórmula, el argumento se escribe como (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q, es decir, «la conjunción de las premisas implica la conclusión».
Un argumento es válido cuando esa fórmula es una tautología. Por eso la calculadora clasifica la expresión como tautología: en las cuatro combinaciones de valores de p y q el resultado final es V.
Por qué es válida: lectura de la tabla
La única fila que podría invalidar el argumento es aquella en la que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Para que p ∧ (p ⇒ q) sea V necesitamos p = V y p ⇒ q = V. Pero si p = V, la implicación solo es verdadera cuando q = V. Por lo tanto, cuando las premisas son verdaderas, q es necesariamente verdadera.
Fila 1 (p = V, q = V): p ⇒ q es V, la conjunción es V y la conclusión q es V, así que la implicación final es V. Fila 2 (p = V, q = F): p ⇒ q es F, la conjunción es F y una implicación con antecedente falso es V. Filas 3 y 4 (p = F): la conjunción es F y de nuevo la implicación final es V.
Cómo se usa en demostraciones
En una demostración formal, el modus ponens permite «separar» la conclusión de una implicación ya establecida. Si en las líneas anteriores aparecen «p ⇒ q» y «p», se puede escribir «q» citando MP como justificación.
Casi todos los sistemas deductivos (deducción natural, sistemas axiomáticos al estilo de Hilbert) lo incluyen como regla primitiva; muchas otras reglas se derivan de él combinándolo con equivalencias como la contrapositiva o la implicación material.
Ejemplos
Cotidiano: «Si el semáforo está en rojo, los autos se detienen. El semáforo está en rojo. Entonces los autos se detienen».
Programación: un condicional `if (usuarioAutenticado) { mostrarPanel(); }` aplica modus ponens en cada ejecución. La regla del programa es «si está autenticado, se muestra el panel»; cuando la condición se evalúa como verdadera, la consecuencia se ejecuta.
Matemáticas: «Si n es par, entonces n² es par. 10 es par. Por lo tanto, 10² = 100 es par».
Relación con otras leyes
El modus tollens es su «espejo»: en lugar de afirmar el antecedente, niega el consecuente para concluir la negación del antecedente. Ambas reglas se pueden convertir una en otra usando la ley de la contrapositiva (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p).
No confundir con la falacia de afirmación del consecuente, ((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p, que parece similar pero es una contingencia: de «la calle está mojada» no se sigue que haya llovido.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Qué significa «modus ponens»? ▼
Viene del latín modus ponendo ponens: «el modo que, afirmando, afirma». Afirma el antecedente de una implicación para afirmar su consecuente.
¿El modus ponens es una tautología? ▼
La regla en sí es un esquema de inferencia, pero la fórmula que la representa, (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q, sí es una tautología, y eso es precisamente lo que garantiza su validez.
¿Cuál es la diferencia entre modus ponens y modus tollens? ▼
El modus ponens afirma p para concluir q; el modus tollens niega q para concluir ¬p. Ambos parten de la misma implicación p ⇒ q.
¿Por qué la tabla tiene 4 filas? ▼
Porque hay dos variables, p y q, y cada una puede ser V o F: 2² = 4 combinaciones posibles.